Algebraische Topologie: Dritte Woche

Dieses war eine kurze Woche, und da es momentan doch ein Skript gibt, gibt es hier auch wenig zu sagen. Den zweiten Abschnitt habe ich auf das tatsächlich behandelt zusammengekürzt, was auch thematisch ganz gut passt. Passend zu der halben Woche habe ich auch einen ungefähr halben Aufgabenzettel erstellt.

Ein komischer Kegel

Da wir leider nicht mehr dazu gekommen sind, die letzte Aufgabe zu besprechen, aber anscheinend einige an ihr herumgeknobelt hatten, möchte ich hier kurz eine Lösung angeben.

In der Aufgabe ging es darum zu sehen, dass für $M\subset\mathbb R^n$ der abstrakt definierte Kegel $CM$ nicht immer homöomorph zu \[\left\{((1-t)x,t)\in\mathbb R^{n+1}\colon x\in M,\,t\in I\right\}\] ist, wie man vermuten könnte. Für kompaktes $M$ zeigen wir leicht, dass die Räume homöomorph sind, aber schon für $M=\mathbb N\subset\mathbb R$ sind sie es nicht, das zu zeigen war Teil der Aufgabe. In der Tat ist $C\mathbb N$ zu keiner Teilmenge eines euklidischen Raumes homöomorph.

Ist $x$ ein Punkt eines metrischen Raumes $X$, so enthält jede Umgebung von $x$ einen $\frac1n$-Ball um $x$. Für die Spitze des Kegels $C\mathbb N$ werden wir aber zeigen, dass es kein abzählbares System von Umgebungen gibt, so dass jede Umgebung der Spitze eine Umgebung aus diesem System enthält. $C\mathbb N$ kann damit zu keinem metrischen Raum homöomorph sein. Wir sagen, $X$ sei nicht metrisierbar.

Nun zum Beweis. Es sei $p\colon \mathbb N\times I\to C\mathbb N$ die Quotientenabbildung. Die Kegelspitze bezeichnen wir mit $\ast$, es ist also $p[\mathbb N\times\{1\}]=\{\ast\}$. Es sei $(U_n)_{n\in\mathbb   N}$ eine abzählbare Familie von Umgebungen von $\ast$. Wir wollen eine Umgebung $V$ von $\ast$ finden, so dass $U_n\setminus V\ne\emptyset$ für alle $n$. Dies leistet eine einfache Diagonalkonstruktion.  Für $n\in\mathbb N$ ist $p^{-1}[U_n]$ Umgebung von $(n,1)\in\mathbb N\times I$, also existiert $\varepsilon_n>0$, so dass $\{n\}\times (1-2\varepsilon_n,1]\subset p^{-1}[U_n]$. Ein solches wählen wir für jedes $n$ und setzen $\tilde V:=\bigcup_{n\in\mathbb    N}\{n\}\times(1-\varepsilon,1]$ und $V:=p[\tilde V]$. Es ist $p^{-1}[V]=\tilde V$ offen, also $V$ Umgebung von $\ast$. Für jedes $n$ ist aber $(n,1-\varepsilon)\in p^{-1}[U_n\setminus V]$. Das zeigt die Behauptung.

Algebraische Topologie: Zweite Woche

Wir haben uns am Dienstag der zweiten Woche weiter mit Quotiententopologien beschäftigt.  Das Ziel war, zu sehen, wie man mit diesen in einfachen Argumenten umgeht. So haben wir gezeigt, dass der Kegel über einer $n$-Sphäre ein $(n+1)$-Ball ist. Das ist geometrisch keine große Erkenntnis, man sollte es eher so sehen, dass der Begriff des Kegels, den wir eingeführt haben, und der vielleicht etwas abstrakt schien, wenn man wenig Erfahrung mit Topologien hat, der richtige ist. Außerdem haben wir projektive Räume Sphären, auf denen antipodale Punkte identifiziert werden, eingeführt und gesehen, dass man sie auch erhalten kann, indem man antipodale Punkte auf dem Rand eines Balles identifiziert.

Zum Schluss habe ich noch auf ein technisches Lemma hingearbeitet, zu dem ich aber nicht mehr gekommen bin. Das hat uns aber eine Gelegenheit gegeben, ein wenig über Produkte und Kompaktheit zu reden.

Wie angekündigt habe ich den bisherigen Stoff aufgeschrieben, beziehungsweise zusammenkopiert. Hier ist er: Abschnitt 1, Quotienten.

Dazu habe ich auch einige Grundlagen zur mengentheoretischen Topologie aus einem alten Skript zusammengetragen: Abschnitt 0, Präliminarien. 

Durch das Zusammenkopieren kann es zu Inkonsistenten gekommen sein. Diese Präliminarien sind nicht als Voraussetzungen an die Hörer zu verstehen, sondern als gemeinsame Quelle, um Grundlagen nachzuschlagen.

Das oben erwähnte am Dienstag noch nicht vorgekommene technische Lemma hat es dennoch bereits in den ersten Abschnitt geschafft (1.27) und wir nächsten Dienstag behandelt werden. Die auf dem Weg dorthin gezeigte Aussage über Projektionen mit kompakter Faser hat aber ihren Platz in Abschnitt 0 gefunden (0.63),

Algebraische Topologie: Erste Woche

Nach einem Ausblick auf die Themen dieses Semesters haben wir uns einigen topologischen Grundbegriffen zugewandt.

Von Grundlagen über topologische Räume, Unterräume, Produkte, Kompaktheit und Zusammenhang nehme ich an, dass sie im wesentlichen bekannt sind, ich bemühe mich aber, an einige zu erinnern, wenn sich die Gelegenheit anbietet. Zum Nachlesen kann ich die ersten beiden Kapitel meines Skripts zu einer Topologievorlesung an der TU Berlin anbieten. Außerdem kann ich Kapitel 6 von Bröckers „Analysis I“ empfehlen. Falls dies nicht genügt und ich zu schnell bin, bitte ich um freundlichen Protest.

Angefangen habe ich mit dem Begriff des Quotientenraums. Was ich darüber erzähle wird eine verkürzte Fassung des siebenten Kaptitels des genannten Skripts sein.

Ebenfalls hatten wir bereits den Begriff der Homotopie. Das entspräche in dem alten Skript 8.1, 8.2, 8.3, 8.6, 8.7.

Algebraische Topologie im Wintersemester 2013/14

Hier werde ich mindestens wöchentlich kurz etwas zur Vorlesung „Algebraische Topologie“ schreiben. Kommentare und Fragen zu dem Stoff sind willkommen, rein organisatorische Fragen zur Vorlesung werden aber besser direkt an mich gerichtet.

Anonyme Kommentare sind nicht möglich, gegen pseudonyme habe ich aber nichts einzuwenden.

Ich werde die Blogposts zur Vorlesung mit AlgTop1314 kennzeichnen.