tag:blogger.com,1999:blog-5465887070964513341.post5658029866623280984..comments2013-06-22T19:34:55.699+02:00Comments on Ein wenig Mathematik: Panorama 10. 5. 2013Carsten Schultzhttp://www.blogger.com/profile/16040095694356968541noreply@blogger.comBlogger5125tag:blogger.com,1999:blog-5465887070964513341.post-79900700215708774382013-05-11T19:15:14.424+02:002013-05-11T19:15:14.424+02:00Ah verstehe, ich sehe ein, dass die Existenz der M...Ah verstehe, ich sehe ein, dass die Existenz der Mengen am Auswahlaxiom liegt, die Nicht-Messbarkeit aber nicht. Und danke für die Ausführungen zur Cantormenge, das war mir überwiegend neu. Meine Bemerkung zur Quadratur des Kreises ergibt keinen Sinn, weil ich den Artikel falsch gelesen hatte. mathetiger1https://www.blogger.com/profile/17550491026755339461noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5465887070964513341.post-9698422959755516832013-05-11T12:17:52.026+02:002013-05-11T12:17:52.026+02:00Bei Ihrem letzten Satz wäre ich mit der Formulieru...Bei Ihrem letzten Satz wäre ich mit der Formulierung etwas vorsichtiger. Es folgt (ganz ohne AC) aus den Eigenschaften dieser Mengen, dass sie nicht messbar sind. Aus dem Auswahlaxiom folgt ihre Existenz. Am Beispiel: Ein Repräsentantensystem zu der bei der Konstruktion von Vitali angegeben Äquivalenzrelation ist nicht messbar. Die Frage ist dann nur, ob ein solches existiert.Carsten Schultzhttps://www.blogger.com/profile/16040095694356968541noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5465887070964513341.post-1712032182107215222013-05-11T12:12:42.330+02:002013-05-11T12:12:42.330+02:00Richtig, die Cantormenge ist im Vergleich zu Vital...Richtig, die Cantormenge ist im Vergleich zu Vitalis Menge harmlos, die Cantormenge ist ja eine kompakte Teilmenge von $\mathbb R$. Übrigens kam die Cantormenge am 29. 4. vor, als wir $2^{\mathbb N}$ ins Einheitsintervall eingebettet haben, aber da ihre speziellen Eigenschaften dabei nicht wichtig waren, habe ich darauf nicht hingewiesen. Noch ein Übrigens: Dass die Cantormenge Maß $0$ hat, liegt ja daran, dass das Maß im $n$-ten Schritt $(2/3)^n$ beträgt und dies eine Nullfolge ist. Entfernt man stattdessen Stücke geeigneter Größe, so kann man eine Cantormenge mit beliebigem Maß zwischen $0$ und $1$ (exklusive) konstruieren. In der Tat sieht man so auch, dass es einen Homöomorphismus von $[0,1]$ auf sich selbst gibt, der die Cantormenge von Maß $0$ auf eine von positivem Maß abbildet („aufbläst“). (Für einen Diffeomorphismus ist dies nicht möglich.)Carsten Schultzhttps://www.blogger.com/profile/16040095694356968541noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5465887070964513341.post-23572948378132428872013-05-11T11:54:57.889+02:002013-05-11T11:54:57.889+02:00Hah, Bach war gut, Danke.Hah, Bach war gut, Danke.Carsten Schultzhttps://www.blogger.com/profile/16040095694356968541noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5465887070964513341.post-84983313541854836852013-05-11T10:11:37.148+02:002013-05-11T10:11:37.148+02:00Der Wikipedia-Atikel zu Banach-Tarski ist ja ganz ...Der Wikipedia-Atikel zu Banach-Tarski ist ja ganz interessant: Zu den konstruierten Mengen erfährt man: Sie sind in einem gewissen Sinne unendlich filigran und porös bzw. staubwolkenartig.<br /><br />Erinnert mich irgendwie an den Cantor-Staub (Mitteldrittel von [0,1] schrittweise entfernen), aber die Cantor-Menge ist ja noch messbar mit Maß 0, obwohl überabzählbar. <br /><br />Zum anderen gelingt die Quadratur des Kreises (von wegen unlösbar - man braucht also Zirkel, Lineal und AC :-) <br /><br />*Pedantisch* Das Label Bach sollte Banach heißen.<br /><br />*Nachdenklich* AC muss man ja doch kritischer sehen, als ich bisher dachte. AC scheint ja in gewisser Weise der Intuition zuwiderzulaufen, wenn Volumenverdoppelungen möglich sind. Andererseits verhindert AC dann aber auch wieder, dass diesen Mengen Maße / Volumen zugeordnet werden können? (Satz von Vitali)mathetiger1https://www.blogger.com/profile/17550491026755339461noreply@blogger.com