Diese Vorlesung war „paradoxen“ Zerlegungen der Sphäre und der Kugel gewidmet. Die bekanntere und spektakulärere ist die folgende.
Satz (Banach-Tarski, 1924, mit AC). Wir schreiben $A\approx B$ für Teilmengen $A$, $B$ des $\mathbb R^3$, wenn endliche Zerlegungen\begin{align*}A&=A_1\mathop{\dot\cup}\cdots\mathop{\dot\cup} A_k,&B&=B_1\mathop{\dot\cup}\cdots\mathop{\dot\cup} B_k\end{align*}und Bewegungen $\phi_r\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ mit $\phi_r[A_r]=B_r$ für $1\le r\le k$ existieren.
Es sei $D:=\{x\in\mathbb R^3\colon \|x\|\le 1\}$ die Vollkugel. Dann existiert eine Zerlegung $D=X\dot\cup Y$ mit $X\approx Y\approx D$.
Wir zerlegen also die Kugel in endlich viele Teile und setzen diese zu zwei Kugeln zusammen. Offenbar können diese Zerlegungen nicht messbar sein, sonst erhielte man durch Vergleich der Volumina der beiden Kugeln den Widerspruch $1=2$.
Wir sehen daran auch, dass „Teilmenge des $\mathbb R^3$“ ohne weitere Qualifizierung wie zumindest Messbarkeit keine sinnvolle Modellierung des Konzepts eines dreidimensionalen Objekts in einem physikalischen Sinne ist.
Auch kann dieses Ergebnis eventuell unsere Skepsis gegenüber dem Auswahlaxiom erhöhen.
Die Zerlegung lässt sich aus der folgenden erhalten. (Die Jahreszahl hatte ich in der Vorlesung falsch angegeben, so ist es aber auch weniger überraschend.)
Satz (Hausdorff, 1914, mit AC). Es sei $S:=\{x\in \mathbb R^3\colon \|x\|=1\}$ die $2$-Sphäre. Dann existieren eine Zerlegung\[S=\mathcal A\mathop{\dot\cup}\mathcal B\mathop{\dot\cup}\mathcal C\mathop{\dot\cup} Q,\]wobei $Q$ abzählbar ist, und Drehungen $\phi,\psi\in\mathrm{SO}(3)$, so dass\begin{align*}\phi[A]&=B\cup C,&\psi[A]&=B,&\psi^2[A]&=C.\end{align*}
Auch hier findet also schon eine wundersame Verdopplung einer Menge statt. Den Beweis dieses Satzes habe ich skizziert. Dabei bin ich Jech gefolgt. Dort kann man auch nachlesen, wie man daraus die Banach-Tarski-Zerlegung erhält. In der Tat setzt man $X=\{\lambda x\colon \lambda\in[0,1],\ x\in\mathcal A\cup Q\}$ und $Y=D\setminus X$. Es ist dann leicht, $X\approx D$ zu sehen, $Y\approx D$ erfordert mehr Mühe, aber keine schwierigen Hilfsmittel.
Die Konstruktion von Hausdorff ähnelt der einer nicht-messbaren Menge von Vitali, ist aber komplizierter. Und während bei Vitali das Einheitsintervall in abzählbar viele Teile zerlegt wird, wird hier die Sphäre in endlich viele Teile zerlegt.
Die Konstruktion von Hausdorff ähnelt der einer nicht-messbaren Menge von Vitali, ist aber komplizierter. Und während bei Vitali das Einheitsintervall in abzählbar viele Teile zerlegt wird, wird hier die Sphäre in endlich viele Teile zerlegt.
