Wir haben über die Eulersche Polyederformel geredet. Wir sind dabei fast vollständig dem entsprechenden Kapitel in Aigners und Zieglers „Das Buch der Beweise“ gefolgt.
Formuliert haben wir sie wie folgt.
Satz. Es sei $G$ ein zusammenhängender ebener Graph mit $n$ Ecken, $e$ Kanten und $f$ Flächen (oder Ländern) inklusive der äußeren. Dann ist \[n-e+f=2.\]
Der angegebene Beweis ist der erste dieser 20.
Als Beispiel haben wir gesehen, dass ein Polyeder aus $k$ Dreiecken und $l$ Vierecken, bei dem an jeder Ecke drei Flächen zusammenstoßen. $3k+2l=12$ erfüllen muss. Dies folgte aus der Eulerformel sowie $f=k+l$, $2e=3n$ (doppeltes Abzählen der Ecken-Kanten-Inzidenzen) und $2e=3k+4l$ (doppeltes Abzählen der Kanten-Flächen-Inzidenzen).
Ebenfalls haben wir gesehen, dass der Graph $K_{3,3}$ nicht planar ist. Dies folgte daraus, dass $n=6$, $e=9$ und $2e\ge4f$ (doppeltes Abzählen der Kanten-Flächen-Inzidenzen zusammen damit, der jeder Kreis in $K_{3,3}$ mindestens Länge $4$ hat) im Widerspruch zur Euler-Formel steht.
Keine Kommentare:
Kommentar veröffentlichen