Freitag, 12. April 2013

Panorama 12. 4. 2013

Vorweg:  Ich habe das Buch, das ich gezeigt habe, um zu demonstrieren, dass Lehrbücher 1930 nicht viel anders als heute waren, nur unvollständig genannt.  Es war Van der Waerdens „Algebra I“.  Allerdings sehe ich nun, dass ich ausgerechnet eine Seite aus einem Kapitel, dass in der ersten Auflage gar nicht vorhanden war, genommen habe.  Wer 1970 getippt hatte, lag also sehr gut.

Die Vorlesung war heute zweigeteilt.  Zuerst habe ich ein wenig über Fachzeitschriften und Mathematik im Internet geredet.  Ich habe diese Folien benutzt.

Dies sind die Links daraus:

Im zweiten Teil haben wir uns kurz mit quadratischen, dann vor allem mit kubischen Gleichungen beschäftigt.  Für letzteres war für mich Kapitel 1 von Bewersdorff, Algebra für Einsteiger, 3. Aufl. eine wesentliche Vorlage.
Das Hauptergebnis war die von Cardano publizierte (s.a. Tartaglia) Herleitung einer Lösungsformel für kubische Gleichungen. Ich gebe sie hier noch einmal in Kurzform an.  Ausgehend von \[
(u+v)^3 - 3uv(u+v) - (u^3 +v^3) = 0,
\]was sich auch geometrisch deuten lässt, sieht man, dass \(x=u+v\) eine Lösung ist, wenn \(uv = - \frac p3\) und \(u^3+v^3 = -q\).  Ersteres ist äquivalent zu \( u^3v^3 = -\left(\frac p3\right)^3\).  Diese beiden Gleichungen sind nun aber genau dann erfüllt, wenn \(u^3\) und \(v^3\) die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung \(w^2 + q w -\left(\frac p3\right)^3 \) sind. (Diesen Punkt hätte ich in der Vorlesung mehr betonen sollen.)  Damit erhält man schon den folgenden
Satz. Seien \(p,q\in\mathbb R\), \(D:=\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3\ge0\). Dann ist\[
x=\sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt D} + \sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt D}
\]eine Lösung der Gleichung
\[ x^3+px+q=0.
\]Dabei ist für \(r<0\) der Ausdruck \(\sqrt[3]r\) als \(-\sqrt[3]{-r}\) zu verstehen.



Kommentare:

  1. Man sollte noch erwähnen, dass wir die Lösungsformel von Cardano für kubische Gleichungen hergeleitet haben.

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    1. Danke für den Hinweis. Ich habe ihn zum Anlass genommen, diesen Teil hinzuzufügen.

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