Freitag, 19. April 2013

Panorama 19. 4. 2013

Die Erklärung der Galoisgruppe war hoffentlich in der Vorlesung etwas anschaulicher als hier, das ich hier auf das tabellarische Aufführen der Permutationen verzichtet habe.
Denen, die etwas Algebrakenntnisse haben, empfehle ich, sich die Begriffe der Galoisgruppe und der Auflösbarkeit einer Gruppe zusätzlich anderswo anzusehen, da ich hier bemüht war, Begriffe aus der Algebra zu vermeiden.
Was wir in den letzten zehn Minuten zum Fundamentalsatz der Algebra gesagt haben, habe ich hier nicht wiedergegeben.


Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale


Nachdem Lagrange das Lösen algebraischer Gleichungen durch Radikale, also das Finden von Lösungen, die sich unter Verwendung von nur Wurzeln und den Körperoperationen schreiben lassen, systematisiert hatte und man dennoch keine allgemeinen Lösungen für Gleichungen höheren als vierten Grades gefunden hatte, konnte man annehmen, dass diese vielleicht gar nicht existierten.  Die Nichtexistenz dieser Lösungen wurde von Abel nach einem früheren lückenhaften Versuch von Ruffini 1823(?) bewiesen.

Heute beweist man dieses Ergebnis meist mit Hilfe der Galois-Theorie.  Diese basiert auf Ideen von Galois, der 1832 genauer die Frage beantwortete, welche algebraischen Gleichungen durch Radikale lösbar sind.

Galois-Theorie


Wir betrachten als Beispiel die Gleichung \[x^4-6x^2+2=0.\]  Diese ist offensichtlich leichter lösbar als eine allgemeine Gleichung vierten Grades, denn wir können $y=x^2$ substituieren, und erhalten $y=3\pm\sqrt7$ und damit \begin{align*}x_1&=\sqrt{3+\sqrt7},&x_2&=\sqrt{3-\sqrt7},\\ x_3&=-\sqrt{3+\sqrt7},& x_4&=-\sqrt{3-\sqrt7}.\end{align*}Nun sind „von $\mathbb Q$ aus gesehen“ alle diese Nullstellen gleich gut, denn keine von ihnen hat eine algebraische Eigenschaft, die nicht daraus folgte, Nullstelle von $x^4-6x^2+2$ zu sein. (Offenbar müsste man dies präzisieren, wenn man sich das Thema ernsthaft mathematisch erschließen wollte.) Es sind aber nicht alle möglichen Reihenfolgen der vier Nullstellen ununterscheidbar, denn bei der oben gewählten gilt $x_1+x_3=0$, nicht aber $x_1+x_2=0$.  Überlegen wir uns nun (im Vertrauen darauf, dass alle weiteren algebraischen Relationen zwischen den Nullstellen hieraus bereits folgen), welche weiteren Reihenfolgen der Nullstellen diese Gleichung erfüllen, so erhalten wir insgesamt acht: Die Wahl von $x_1$ ist frei und bestimmt $x_3$, danach gibt es noch zwei Möglichkeiten, die restlichen beiden Nullstellen auf $x_2$ und $x_4$ zu verteilen. Mehr Struktur sieht man, wenn man diese acht Reihenfolgen als Permutationen der vier Nullstellen ansieht, sie bilden dann eine Untergruppe der Gruppe aller Permutationen der vier Nullstellen.  Diese heißt die Galoisgruppe der Gleichung, wir bezeichnen sie hier mit $\mathrm{Gal}(x^4-6x^2+2)$.  Sie ist in diesem Fall isomorph Symmetriegruppe eines Vierecks (der Diedergruppe mit $8$ Elementen, bei mir $D_8$, in der Wikipedia $D_4$ genannt).  Dies ist eine nicht kommutative Gruppe.

Den Zusammenhang der Struktur der Gruppe mit den bei der Lösung der Gleichung gemachten Wahlen können wir noch weiter verdeutlichen.  Wir können fragen, was die verschieden Elemente der Galoisgruppe mit der Zahl $\sqrt7$ machen.  Dies ist möglich, weil sich $\sqrt7$ als algebraischer Ausdruck in $x_1,\ldots,x_4$ schrieben lässt.  In der Vorlesung haben wir den schönen Ausdruck $\frac12(x_2x_4-x_1x_3)$ gefunden.  Jede zur Galoisgruppe gehörende Permutation bildet diesen Ausdruck nun auf sich selbst oder auf sein Negatives ab.  Dies beschreibt einen Gruppenhomomorphismus von $\mathrm{Gal}(x^4-6x^2+2)$ in eine zweielementige Gruppe.  Der Kern dieser Abbildung ist auch abelsch.  Er entspricht den Vorzeichenwahlen bei den äußeren Wurzeln.

Wir kommen nun zu einer weiteren wesentlichen
Definition. Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Dann heißt $G$ auflösbar, wenn ein $n\in\mathbb N$, Untergruppen $G=G_0\supset G_1\supset\cdots\supset G_n=\{1\}$, abelsche Gruppen $A_0,\dots,A_{n-1}$ und Gruppenhomomorphismen $\phi_j\colon G_j\to A_j$ mit $\mathrm{ker} \,\phi_j=G_{j+1}$ existieren.

Damit können wir Galois' Ergebnis formulieren.
Satz. Es sei $f$ ein irreduzibles Polynom.  Dann sind äquivalent:
  • Die Gleichung $f=0$ ist durch Radikale lösbar.
  • Die Galoisgruppe von $f$ ist auflösbar.

Die Idee ist dabei, dass einerseits eine Lösung der Gleichung wie in unserem Beispiel (in dem wir einiges unterschlagen haben) angedeutet zu den Homomorphismen $\phi_j$ führt, und dass andererseits die Untergruppen, die zeigen, dass die Galoisgruppe auflösbar ist, zu einer Anleitung führt, wie die Gleichung mit Hilfe von sukzessiven Lagrangeresolventen zu lösen ist.

Weiteres:
  • Galois beschreibt eine Methode, wie man zumindest prinzipiell die Galoisgruppe eines Polynoms berechen kann.
  • Für jedes $n$ gibt es Polynome $n$-ten Grades, deren Galoisgruppe die Gruppe aller Permutationen der $n$ Nullstellen ist, also die symmetrische Gruppe $S_n$.  In der Tat ist das in gewisser Weise der Normalfall.  Ein einfaches Beispiel für ein Polynom fünften Grades mit voller Galoisgruppe ist $x^5-x-1$.
  • Die symmetrische Gruppe $S_n$ ist genau dann auflösbar, wenn $n\le 4$. Zusammen mit dem vorhergehenden Punkt beweist das den Satz von Abel-Ruffini.
Galois' Arbeit war auch der Beginn der Gruppentheorie.  Alle bei ihm auftauchenden Gruppen sind Untergruppen von Permutationsgruppen, der abstrakte Begriff einer Gruppe wie wir ihn heute kennen, war noch unbekannt.  Das ist aber ohnehin keine Einschränkung der Allgemeinheit, denn es ist ohnehin jede Gruppe isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.

Kommentare:

  1. Wir haben also gelernt, dass es zu Gleichungen höheren Grades als 4 keine allgemeinen Lösungsformeln gibt, die nur mit den Grundrechenarten + und * sowie (evtl. komplexen) Wurzelausdrücken/Radikalen auskommen. Aber vielleicht existieren ja Formeln, die einfach mehr benutzen und schon geht's? (Die Idee kam mir gerade bei der Quadratur des Kreises, die mit AC plötzlich prinzipiell möglich ist.)

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    1. Bei der Quadratur des Kreises haben Sie die Formulierung in der Wikipedia vielleicht nicht ganz richtig aufgefasst.

      Um den Rest auf eine mögliche Art zu konkretisieren: „$\sqrt[n]a$“ ist ja nur eine Abkürzung für „eine Nullstelle von $x^n-a$“. In diesem Sinne kann ich natürlich jedes Polynom lösen, indem ich einfach „eine Nullstelle dieses Polynoms“ sage. (Ok, man sollte das nur für irreduzible Polynome zulassen, damit man nicht „welche?“ antworten kann.) Das ist irgendwie geschummelt, aber ich glaube, es gibt in der Tat Resultate in der Richtung, was dazwischen genügt. Welche Polynome kann ich beispielsweise lösen, wenn ich erlaube, Nullstellen von Polynomen der Art $x^n+bx-a$ hinzuzufügen? Das weiß ich nicht.

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    2. In der Tat steht in der Wikipedia "wenn auch nicht mit Zirkel und Lineal" und nicht, wie ich verstanden habe, "wenn auch nicht nur mit Zirkel und Lineal". Pardon, das habe ich wirklich falsch verstanden.

      Unter http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung_fünften_Grades steht unter Geschichte: Charles Hermite gelang es 1858, die allgemeine Gleichung fünften Grades in jacobischen Thetafunktionen (aber natürlich nicht in Radikalen) zu lösen.
      Natürlich ist sehr die Frage, wie man so eine Thetafunktion auswertet und ob das einfacher ist als eine Gleichung fünften Grades numerisch zu lösen...

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