Wir haben uns am Dienstag der zweiten Woche weiter mit Quotiententopologien beschäftigt. Das Ziel war, zu sehen, wie man mit diesen in einfachen Argumenten umgeht. So haben wir gezeigt, dass der Kegel über einer $n$-Sphäre ein $(n+1)$-Ball ist. Das ist geometrisch keine große Erkenntnis, man sollte es eher so sehen, dass der Begriff des Kegels, den wir eingeführt haben, und der vielleicht etwas abstrakt schien, wenn man wenig Erfahrung mit Topologien hat, der richtige ist. Außerdem haben wir projektive Räume Sphären, auf denen antipodale Punkte identifiziert werden, eingeführt und gesehen, dass man sie auch erhalten kann, indem man antipodale Punkte auf dem Rand eines Balles identifiziert.
Zum Schluss habe ich noch auf ein technisches Lemma hingearbeitet, zu dem ich aber nicht mehr gekommen bin. Das hat uns aber eine Gelegenheit gegeben, ein wenig über Produkte und Kompaktheit zu reden.
Wie angekündigt habe ich den bisherigen Stoff aufgeschrieben, beziehungsweise zusammenkopiert. Hier ist er: Abschnitt 1, Quotienten.
Dazu habe ich auch einige Grundlagen zur mengentheoretischen Topologie aus einem alten Skript zusammengetragen: Abschnitt 0, Präliminarien.
Durch das Zusammenkopieren kann es zu Inkonsistenten gekommen sein. Diese Präliminarien sind nicht als Voraussetzungen an die Hörer zu verstehen, sondern als gemeinsame Quelle, um Grundlagen nachzuschlagen.
Das oben erwähnte am Dienstag noch nicht vorgekommene technische Lemma hat es dennoch bereits in den ersten Abschnitt geschafft (1.27) und wir nächsten Dienstag behandelt werden. Die auf dem Weg dorthin gezeigte Aussage über Projektionen mit kompakter Faser hat aber ihren Platz in Abschnitt 0 gefunden (0.63),
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