Da wir leider nicht mehr dazu gekommen sind, die letzte Aufgabe zu besprechen, aber anscheinend einige an ihr herumgeknobelt hatten, möchte ich hier kurz eine Lösung angeben.
In der Aufgabe ging es darum zu sehen, dass für $M\subset\mathbb R^n$ der abstrakt definierte Kegel $CM$ nicht immer homöomorph zu \[\left\{((1-t)x,t)\in\mathbb R^{n+1}\colon x\in M,\,t\in I\right\}\] ist, wie man vermuten könnte. Für kompaktes $M$ zeigen wir leicht, dass die Räume homöomorph sind, aber schon für $M=\mathbb N\subset\mathbb R$ sind sie es nicht, das zu zeigen war Teil der Aufgabe. In der Tat ist $C\mathbb N$ zu keiner Teilmenge eines euklidischen Raumes homöomorph.
Ist $x$ ein Punkt eines metrischen Raumes $X$, so enthält jede Umgebung von $x$ einen $\frac1n$-Ball um $x$. Für die Spitze des Kegels $C\mathbb N$ werden wir aber zeigen, dass es kein abzählbares System von Umgebungen gibt, so dass jede Umgebung der Spitze eine Umgebung aus diesem System enthält. $C\mathbb N$ kann damit zu keinem metrischen Raum homöomorph sein. Wir sagen, $X$ sei nicht metrisierbar.
Nun zum Beweis. Es sei $p\colon \mathbb N\times I\to C\mathbb N$ die Quotientenabbildung. Die Kegelspitze bezeichnen wir mit $\ast$, es ist also $p[\mathbb N\times\{1\}]=\{\ast\}$. Es sei $(U_n)_{n\in\mathbb N}$ eine abzählbare Familie von Umgebungen von $\ast$. Wir wollen eine Umgebung $V$ von $\ast$ finden, so dass $U_n\setminus V\ne\emptyset$ für alle $n$. Dies leistet eine einfache Diagonalkonstruktion. Für $n\in\mathbb N$ ist $p^{-1}[U_n]$ Umgebung von $(n,1)\in\mathbb N\times I$, also existiert $\varepsilon_n>0$, so dass $\{n\}\times (1-2\varepsilon_n,1]\subset p^{-1}[U_n]$. Ein solches wählen wir für jedes $n$ und setzen $\tilde V:=\bigcup_{n\in\mathbb N}\{n\}\times(1-\varepsilon,1]$ und $V:=p[\tilde V]$. Es ist $p^{-1}[V]=\tilde V$ offen, also $V$ Umgebung von $\ast$. Für jedes $n$ ist aber $(n,1-\varepsilon)\in p^{-1}[U_n\setminus V]$. Das zeigt die Behauptung.
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