Zermelo vs Peano

Wie haben die Altvorderen doch noch schön gestritten. Bekanntlich hat Zermelo in seinem Beweis des Wohlordnungssatzes das Auswahlaxiom (damals noch nicht so benannt)  formuliert und als besonderes Prinzip hervorgehoben. In einem späteren Aufsatz gibt er einen weiteren Beweis und antwortet auf Kritik. Besonders schön ist seine Antwort auf Peanos Kritik am Auswahlaxiom. Peano hat anscheinend bemängelt, dass das Auswahlaxiom in Peanos logischem Kalkül, dem „Formulaire“, nicht beweisbar wäre. Zermelo entgegnet zunächst, dass dies durchaus auch als Schwäche des Formulaire gewertet werden könne und schlägt sehr vernünftig vor, man solle doch zumindest die Konsequenzen des Auswahlaxioms untersuchen. Er kann dann aber doch nicht anders als wie folgt zu formulieren:

Dabei genügt es, diejenigen Theoreme, welche das Axiom notwendig erfordern, von denen zu trennen, bei welchen es entbehrt werden kann, um auch die gesamte Peanosche Mathematik als einen besonderen Zweig, als eine gewissermaßen künstlich verstümmelte Wissenschaft mit zu umfassen. 

Dann folgt noch der ultimative Seitenhieb:

Freilich hätte Herr Peano noch ein einfaches Mittel, die in Frage stehenden Sätze wie noch viele andere aus seinen eigenen Prinzipien zu beweisen. Er brauchte nur von der neuerdings viel erörterten ,,Russellschen Antinomie" Gebrauch zu machen, da sich aus widersprechenden Prämissen bekanntlich alles beweisen läßt. In der Tat schließen die Prinzipien des Formulaire, welche zwischen „Menge" und ,,Klasse" keinen Unterschied machen, diesen Widerspruch nicht aus. 

Autsch.