Panorama 6. 5. 2013

Nach etwas Wiederholung und Zusammenfassung heute wenig Neues.

Folgerungen aus dem Auswahlaxiom

• Existiert eine Surjektion $f\colon B\to A$, so ist $|A|\le|B|$.
• Der Wohlordnungssatz.
• Der Basisexistenzsatz (in der linearen Algebra meist mit dem Zornschen Lemma bewiesen).
• Daraus die Existenz unstetiger Funktionen $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ mit $f(x+y)=f(x)+f(y)$ für alle $x,y\in\mathbb R$.
  Den dazu in der Vorlesung erwähnten Aufsatz habe ich nun doch noch gefunden, es ist Hamel, G.: Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung: $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Ich konnte feststellen, dass der Beweis der Existenz einer Basis dort der auch in dieser Vorlesung gegebene ist. Übrigens heißt in der Funktionalanalysis eine Vektorraumbasis im Sinne der linearen Algebra in Abgrenzung zu den dort betrachteten Basen eine Hamel-Basis.
• Folgenstetigkeit impliziert Stetigkeit (z.B. für Abbildungen zwischen metrischen Räumen, wir hatten Abbildungen von $\mathbb R$ nach $\mathbb R$). Beim Beweis benötigt man nur eine abzählbare Auswahl.
• Die Existenz einer nicht Lebesgue-messbaren Menge reeller Zahlen. (Vitali, 1905)