Freitag, 10. Mai 2013

Panorama 10. 5. 2013

Diese Vorlesung war „paradoxen“ Zerlegungen der Sphäre und der Kugel gewidmet. Die bekanntere und spektakulärere ist die folgende.

Satz (Banach-Tarski, 1924, mit AC). Wir schreiben $A\approx B$ für Teilmengen $A$, $B$ des $\mathbb R^3$, wenn endliche Zerlegungen\begin{align*}A&=A_1\mathop{\dot\cup}\cdots\mathop{\dot\cup} A_k,&B&=B_1\mathop{\dot\cup}\cdots\mathop{\dot\cup} B_k\end{align*}und Bewegungen $\phi_r\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ mit $\phi_r[A_r]=B_r$ für $1\le r\le k$ existieren.
Es sei $D:=\{x\in\mathbb R^3\colon \|x\|\le 1\}$ die Vollkugel. Dann existiert eine Zerlegung $D=X\dot\cup Y$ mit $X\approx Y\approx D$.

Wir zerlegen also die Kugel in endlich viele Teile und setzen diese zu zwei Kugeln zusammen. Offenbar können diese Zerlegungen nicht messbar sein, sonst erhielte man durch Vergleich der Volumina der beiden Kugeln den Widerspruch $1=2$.
Wir sehen daran auch, dass „Teilmenge des $\mathbb R^3$“ ohne weitere Qualifizierung wie zumindest Messbarkeit keine sinnvolle Modellierung des Konzepts eines dreidimensionalen Objekts in einem physikalischen Sinne ist.
Auch kann dieses Ergebnis eventuell unsere Skepsis gegenüber dem Auswahlaxiom erhöhen.

Die Zerlegung lässt sich aus der folgenden erhalten. (Die Jahreszahl hatte ich in der Vorlesung falsch angegeben, so ist es aber auch weniger überraschend.)

Satz (Hausdorff, 1914, mit AC). Es sei $S:=\{x\in \mathbb R^3\colon \|x\|=1\}$ die $2$-Sphäre. Dann existieren eine Zerlegung\[S=\mathcal A\mathop{\dot\cup}\mathcal B\mathop{\dot\cup}\mathcal C\mathop{\dot\cup} Q,\]wobei $Q$ abzählbar ist, und Drehungen $\phi,\psi\in\mathrm{SO}(3)$, so dass\begin{align*}\phi[A]&=B\cup C,&\psi[A]&=B,&\psi^2[A]&=C.\end{align*}

Auch hier findet also schon eine wundersame Verdopplung einer Menge statt. Den Beweis dieses Satzes habe ich skizziert. Dabei bin ich Jech gefolgt. Dort kann man auch nachlesen, wie man daraus die Banach-Tarski-Zerlegung erhält. In der Tat setzt man $X=\{\lambda x\colon \lambda\in[0,1],\ x\in\mathcal A\cup Q\}$ und $Y=D\setminus X$. Es ist dann leicht, $X\approx D$ zu sehen, $Y\approx D$ erfordert mehr Mühe, aber keine schwierigen Hilfsmittel.

Die Konstruktion von Hausdorff ähnelt der einer nicht-messbaren Menge von Vitali, ist aber komplizierter. Und während bei Vitali das Einheitsintervall in abzählbar viele Teile zerlegt wird, wird hier die Sphäre in endlich viele Teile zerlegt.

Kommentare:

  1. Der Wikipedia-Atikel zu Banach-Tarski ist ja ganz interessant: Zu den konstruierten Mengen erfährt man: Sie sind in einem gewissen Sinne unendlich filigran und porös bzw. staubwolkenartig.

    Erinnert mich irgendwie an den Cantor-Staub (Mitteldrittel von [0,1] schrittweise entfernen), aber die Cantor-Menge ist ja noch messbar mit Maß 0, obwohl überabzählbar.

    Zum anderen gelingt die Quadratur des Kreises (von wegen unlösbar - man braucht also Zirkel, Lineal und AC :-)

    *Pedantisch* Das Label Bach sollte Banach heißen.

    *Nachdenklich* AC muss man ja doch kritischer sehen, als ich bisher dachte. AC scheint ja in gewisser Weise der Intuition zuwiderzulaufen, wenn Volumenverdoppelungen möglich sind. Andererseits verhindert AC dann aber auch wieder, dass diesen Mengen Maße / Volumen zugeordnet werden können? (Satz von Vitali)

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    1. Richtig, die Cantormenge ist im Vergleich zu Vitalis Menge harmlos, die Cantormenge ist ja eine kompakte Teilmenge von $\mathbb R$. Übrigens kam die Cantormenge am 29. 4. vor, als wir $2^{\mathbb N}$ ins Einheitsintervall eingebettet haben, aber da ihre speziellen Eigenschaften dabei nicht wichtig waren, habe ich darauf nicht hingewiesen. Noch ein Übrigens: Dass die Cantormenge Maß $0$ hat, liegt ja daran, dass das Maß im $n$-ten Schritt $(2/3)^n$ beträgt und dies eine Nullfolge ist. Entfernt man stattdessen Stücke geeigneter Größe, so kann man eine Cantormenge mit beliebigem Maß zwischen $0$ und $1$ (exklusive) konstruieren. In der Tat sieht man so auch, dass es einen Homöomorphismus von $[0,1]$ auf sich selbst gibt, der die Cantormenge von Maß $0$ auf eine von positivem Maß abbildet („aufbläst“). (Für einen Diffeomorphismus ist dies nicht möglich.)

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    2. Bei Ihrem letzten Satz wäre ich mit der Formulierung etwas vorsichtiger. Es folgt (ganz ohne AC) aus den Eigenschaften dieser Mengen, dass sie nicht messbar sind. Aus dem Auswahlaxiom folgt ihre Existenz. Am Beispiel: Ein Repräsentantensystem zu der bei der Konstruktion von Vitali angegeben Äquivalenzrelation ist nicht messbar. Die Frage ist dann nur, ob ein solches existiert.

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    3. Ah verstehe, ich sehe ein, dass die Existenz der Mengen am Auswahlaxiom liegt, die Nicht-Messbarkeit aber nicht. Und danke für die Ausführungen zur Cantormenge, das war mir überwiegend neu. Meine Bemerkung zur Quadratur des Kreises ergibt keinen Sinn, weil ich den Artikel falsch gelesen hatte.

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