Freitag, 3. Mai 2013

Zur Dimension des Vektorraums $K^{\mathbb N}$.

Wir wollen ein Diagonalargument finden, das beweist, dass der Vektorraum $K^{\mathbb N}$ der Folgen in einem beliebigen Körper $K$ keine abzählbare Basis besitzt. Ich skizziere hier knapp ein solches.

Für $n\in\mathbb N$ definieren wir die Projektionsabbildung\begin{align*}p_n\colon K^\mathbb N&\to K^n,\\u&\mapsto(u(0),\dots,u(n-1)).\end{align*}

Es sei $(v_i)_{i\in\mathbb N}$ ein linear unabhängiges System von Elementen von $K^\mathbb N$.

Wir definieren rekursiv eine streng monoton steigende Funktion Folge natürlicher Zahlen $(m_k)$, so dass $p_{m_k}(v_0),\dots,p_{m_k}(v_k)$ für alle $k\in\mathbb N$ linear unabhängig ist.  Dazu sei $m_0:= 1+\min\left\{j\colon v_0(j)\ne0 \right\}$.  Sei für ein $k\in\mathbb N$ bereits $m_k$ mit der geforderten Eigenschaft definiert. Sind $p_{m_k}(v_0),\dots,p_{m_k}(v_{k+1})$ bereits linear unabhängig setzen wir $m_{k+1}:=m_k+1$. Ansonsten existieren eindeutige $\lambda_j$ mit \[p_{m_k}(v_{k+1})=\lambda_0 p_{m_k}(v_0)+\dots+\lambda_k p_{m_k}(v_k).\]Wir setzen $m_{k+1}:=1+\mathrm{min}\left\{j\colon v_{k+1}(j)\ne \lambda_0 v_0(j)+\dots+\lambda_k v_k(j)\right\}$. Es ist $m_{k+1}>m_k$, und aufgrund der Eindeutigkeit der $\lambda_j$ ist \[p_{m_{k+1}}(v_{v_{k+1}})\notin\mathrm{span}\left\{p_{m_{k+1}}(v_0),\dots,p_{m_{k+1}}(v_k)\right\}.\] Daher hat die so definierte Folge $(m_k)$ die geforderten Eigenschaften.


Wir definieren nun ein $u\in K^{\mathbb N}$, so dass\[p_{m_{k+1}}(v_0),\dots,p_{m_{k+1}}(v_k),p_{m_{k+1}}(u)\]für alle $k\in{\mathbb N}$ linear unabhängig ist. Wir definieren rekursiv die Einträge $u(j)$ von $u$. Dies ist sinnvoll, da $p_{m_k}(u)$ nur von $u(j)$ mit $j<m_k$ abhängt.

Den Wert $u(j)$ für $j<m_0$ setzen wir beliebig (z.B. gleich $0$).

Es sei nun $k\in{\mathbb N}$ und $u(0),\dots,u(m_k-1)$ seien bereits definiert. Sind\[p_{m_k}(v_0),\dots,p_{m_k}(v_k),p_{m_k}(u)\]bereits linear unabhängig, so definieren wir $u(m_k),\dots,u(m_{k+1}-1)$ beliebig.  Ansonsten existieren wie oben eindeutige $\lambda_j$, so dass\[p_{m_k}(u)=\lambda_0 p_{m_k}(v_0)+\dots+\lambda_k p_{m_k}(v_k).\]Wir definieren nun $u(m_k)$ so, dass \[u(m_k)\ne\lambda_0 v_0(m_k)+\dots+\lambda_k v_k(m_k)\]und $u(j)$ für $m_k<j<m_{k+1}$ beliebig.  Dann ist\[p_{m_{k+1}}(u)\notin\mathrm{span} \{p_{m_{k+1}}(v_0),\dots,p_{m_{k+1}}(v_k)\},\]wobei wieder die Eindeutigkeit der $\lambda_j$ eingeht.

Es folgt, dass für alle $k$ die Vektoren $u,v_0,\dots,v_k$ linear unabhängig sind.  Also sind die Vektoren\[u,v_0,v_1,v_2,\dots\]linear unabhängig.  Damit ist $(v_j)_j$ keine Basis.  Da das linear unabhängige System $(v_j)_j$ beliebig war, kann $K^{\mathbb N}$ keine abzählbar unendliche Basis besitzen. (Dass $K^{\mathbb N}$ nicht endlich-dimensional ist, folgt aus der Existenz des unendlichen linear unabhängigen System von Vektoren $(e_n)_{n\in{\mathbb N}}$ mit $e_n(j)=\delta_{j\, n}$.)

Kommentare:

  1. Hallo,

    wäre es möglich, zu dieser Aufgabe 14 die Lösung hier einzustellen? Ich wusste nicht recht, wie ich die Aufgabe lösen sollte, inzwischen ist die Abgabe des 4. Zettels ja vorbei.

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    1. Ich habe nun den fehlenden Teil eingefügt. Der Text war ursprünglich für einen anderen Zweck gedacht und ist daher knapp. Falls sich die Gelegenheit ergibt, werde ich das auch in der Vorlesung noch einmal ansprechen.

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    2. Vielen Dank für diesen Eintrag!

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