Panorama 6. 5. 2013

Nach etwas Wiederholung und Zusammenfassung heute wenig Neues.

Folgerungen aus dem Auswahlaxiom

• Existiert eine Surjektion $f\colon B\to A$, so ist $|A|\le|B|$.
• Der Wohlordnungssatz.
• Der Basisexistenzsatz (in der linearen Algebra meist mit dem Zornschen Lemma bewiesen).
• Daraus die Existenz unstetiger Funktionen $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ mit $f(x+y)=f(x)+f(y)$ für alle $x,y\in\mathbb R$.
  Den dazu in der Vorlesung erwähnten Aufsatz habe ich nun doch noch gefunden, es ist Hamel, G.: Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung: $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Ich konnte feststellen, dass der Beweis der Existenz einer Basis dort der auch in dieser Vorlesung gegebene ist. Übrigens heißt in der Funktionalanalysis eine Vektorraumbasis im Sinne der linearen Algebra in Abgrenzung zu den dort betrachteten Basen eine Hamel-Basis.
• Folgenstetigkeit impliziert Stetigkeit (z.B. für Abbildungen zwischen metrischen Räumen, wir hatten Abbildungen von $\mathbb R$ nach $\mathbb R$). Beim Beweis benötigt man nur eine abzählbare Auswahl.
• Die Existenz einer nicht Lebesgue-messbaren Menge reeller Zahlen. (Vitali, 1905)

Zur Dimension des Vektorraums $K^{\mathbb N}$.

Wir wollen ein Diagonalargument finden, das beweist, dass der Vektorraum $K^{\mathbb N}$ der Folgen in einem beliebigen Körper $K$ keine abzählbare Basis besitzt. Ich skizziere hier knapp ein solches.

Für $n\in\mathbb N$ definieren wir die Projektionsabbildung\begin{align*}p_n\colon K^\mathbb N&\to K^n,\\u&\mapsto(u(0),\dots,u(n-1)).\end{align*}

Es sei $(v_i)_{i\in\mathbb N}$ ein linear unabhängiges System von Elementen von $K^\mathbb N$.

Wir definieren rekursiv eine streng monoton steigende Funktion Folge natürlicher Zahlen $(m_k)$, so dass $p_{m_k}(v_0),\dots,p_{m_k}(v_k)$ für alle $k\in\mathbb N$ linear unabhängig ist.  Dazu sei $m_0:= 1+\min\left\{j\colon v_0(j)\ne0 \right\}$.  Sei für ein $k\in\mathbb N$ bereits $m_k$ mit der geforderten Eigenschaft definiert. Sind $p_{m_k}(v_0),\dots,p_{m_k}(v_{k+1})$ bereits linear unabhängig setzen wir $m_{k+1}:=m_k+1$. Ansonsten existieren eindeutige $\lambda_j$ mit \[p_{m_k}(v_{k+1})=\lambda_0 p_{m_k}(v_0)+\dots+\lambda_k p_{m_k}(v_k).\]Wir setzen $m_{k+1}:=1+\mathrm{min}\left\{j\colon v_{k+1}(j)\ne \lambda_0 v_0(j)+\dots+\lambda_k v_k(j)\right\}$. Es ist $m_{k+1}>m_k$, und aufgrund der Eindeutigkeit der $\lambda_j$ ist \[p_{m_{k+1}}(v_{v_{k+1}})\notin\mathrm{span}\left\{p_{m_{k+1}}(v_0),\dots,p_{m_{k+1}}(v_k)\right\}.\] Daher hat die so definierte Folge $(m_k)$ die geforderten Eigenschaften.


Wir definieren nun ein $u\in K^{\mathbb N}$, so dass\[p_{m_{k+1}}(v_0),\dots,p_{m_{k+1}}(v_k),p_{m_{k+1}}(u)\]für alle $k\in{\mathbb N}$ linear unabhängig ist. Wir definieren rekursiv die Einträge $u(j)$ von $u$. Dies ist sinnvoll, da $p_{m_k}(u)$ nur von $u(j)$ mit $j<m_k$ abhängt.

Den Wert $u(j)$ für $j<m_0$ setzen wir beliebig (z.B. gleich $0$).

Es sei nun $k\in{\mathbb N}$ und $u(0),\dots,u(m_k-1)$ seien bereits definiert. Sind\[p_{m_k}(v_0),\dots,p_{m_k}(v_k),p_{m_k}(u)\]bereits linear unabhängig, so definieren wir $u(m_k),\dots,u(m_{k+1}-1)$ beliebig.  Ansonsten existieren wie oben eindeutige $\lambda_j$, so dass\[p_{m_k}(u)=\lambda_0 p_{m_k}(v_0)+\dots+\lambda_k p_{m_k}(v_k).\]Wir definieren nun $u(m_k)$ so, dass \[u(m_k)\ne\lambda_0 v_0(m_k)+\dots+\lambda_k v_k(m_k)\]und $u(j)$ für $m_k<j<m_{k+1}$ beliebig.  Dann ist\[p_{m_{k+1}}(u)\notin\mathrm{span} \{p_{m_{k+1}}(v_0),\dots,p_{m_{k+1}}(v_k)\},\]wobei wieder die Eindeutigkeit der $\lambda_j$ eingeht.

Es folgt, dass für alle $k$ die Vektoren $u,v_0,\dots,v_k$ linear unabhängig sind.  Also sind die Vektoren\[u,v_0,v_1,v_2,\dots\]linear unabhängig.  Damit ist $(v_j)_j$ keine Basis.  Da das linear unabhängige System $(v_j)_j$ beliebig war, kann $K^{\mathbb N}$ keine abzählbar unendliche Basis besitzen. (Dass $K^{\mathbb N}$ nicht endlich-dimensional ist, folgt aus der Existenz des unendlichen linear unabhängigen System von Vektoren $(e_n)_{n\in{\mathbb N}}$ mit $e_n(j)=\delta_{j\, n}$.)